大家都應(yīng)該玩過這種15方塊數(shù)字推盤遊戲吧?板上會有15個標記了1至15號的無法方塊和一個空格,玩家可以把方塊移向空格,解決從而改變次序。無法遊戲的解決最終目標是要把15個數(shù)字依次排序好,並且最後一個格子為空位。無法
一位推廣遊戲的解決謎題設(shè)計者洛伊德(Samuel Loyd)曾經(jīng)提出一個「14-15難題」,就是無法把15方塊數(shù)字推盤遊戲中的14和15號方塊對調(diào),其他方塊依次序排好,解決最終目標就是無法把15個數(shù)字排好。他更提出供了一筆1000美元的解決獎金去獎勵首位解到的人。

據(jù)聞那時候,無法這遊戲風靡一時,解決街上行人都拿著小推盤在解謎。無法其風靡程度應(yīng)該就好像幾年前大家都拿著電話在街上捉精靈一樣。解決無數(shù)的無法挑戰(zhàn)者都嘗試破解難題,但都失敗而回。大家都可以試試破不破解到。
群眾經(jīng)過一段長時間都解不到,開始有人懷疑根本上就不可能把方塊還原成數(shù)字依次排序的模樣。但如何證明呢?這時候數(shù)學(xué)就大派用埸了。
要分析這問題,最傳統(tǒng)最典型的方法是利用抽象代數(shù)(abstract algebra)中置換群(permutation group)的理論去分析轉(zhuǎn)置(transposition)的數(shù)量。方法其實很簡潔很易懂,不過始終需要較多背景知識。為了令廣大讀者都看得懂,史丹福不如在此介紹一個更基礎(chǔ)的,初中學(xué)生都懂的方法去研究這個難題。
設(shè)第一行由左至右4個位置分別是1號至4號,第二行由左至右4個位置分別是5號至8號,如此類推,我們共有16個位置。1至15號的方塊散落在這16個位置中。我們的最終目標是15塊方塊由小至大排好在相對應(yīng)的位置中。
我們移動方塊時會打亂方塊的排列,有些較小的方塊卻「插隊」地進駐了一個比較大的方塊後的位置,我們將分析方塊「插隊」的情況。例如在下圖中:

- 1號方塊插了4塊方塊(2、6、3及13號)的隊;
- 2號方塊佔了最前的位置,沒有插到任何隊;
- 3號方塊插了1塊方塊 (6號)的隊(留意,3號方塊是應(yīng)該在2號後的,所以不算插了2號方塊的隊);
- 4號方塊插了4塊方塊 (6、13、10及12號)的隊,如此類推。
設(shè)所有方塊插隊數(shù)量的總和為m。我們每次移動方塊時,其實都可以想像成移動空格。如果空格向左或者向右行的話,不影響方塊插隊的數(shù)量,所以m維持不變。
再設(shè)空格所在的行數(shù)為n。如果空格向上一行,n會減1。m又會如何變化呢?

參考上圖,如果A小於B、C、D的話,方格向上令A(yù) 號方塊插了B、C、D號方塊的隊,m會加3。
如果A小於B、C、D中的其中兩個(設(shè)是B與C)的話,空格向上令A(yù)號方塊插了B與C號方塊的隊,但值得留意的是D號方塊原本插了A號方塊隊,現(xiàn)在卻不再插隊了,所以A 號方塊的插隊數(shù)加2,D號方塊的插隊數(shù)減1,總插隊數(shù)m就會加1。
如果A小於B、C、D中的其中一個,空格向上令m減1;如果A大於B、C、D,空格向上令m減3。
大家留意到甚麼?有沒有發(fā)現(xiàn)m的變化永遠是奇數(shù)?另外,空格向上左一行,n會減1,因此m+n的總變化量必為偶數(shù)。大家可以試試想一下空格向下的情況,同樣地每行一步的m+n變化量必為偶數(shù)。
洛伊德提出的「14-15難題」中,m是1(只有14號方塊插了15號隊),n是4(空格位於第4行),m+n是5,是奇數(shù)。我們最終目標是m是0,n是4 ,m+n是4,是偶數(shù)。但無論我們?nèi)绾巫?,m+n的變化都是偶數(shù),一個奇數(shù)無論加或減多少個偶數(shù)都只會是奇數(shù),變不出偶數(shù),所以洛伊德提出的難題不可能破解。
所謂「全心探討數(shù)學(xué),明道理答案終會找到」,其實只要細心分析,會發(fā)現(xiàn)不少遊戲都有數(shù)學(xué)隱藏在其中,奧妙不已。
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