大家都應(yīng)該玩過這種15方塊數(shù)字推盤遊戲吧？板上會有15個標記了1至15號的無法方塊和一個空格，玩家可以把方塊移向空格，解決從而改變次序。無法遊戲的解決最終目標是要把15個數(shù)字依次排序好，並且最後一個格子為空位。無法
一位推廣遊戲的解決謎題設(shè)計者洛伊德（Samuel Loyd）曾經(jīng)提出一個「14-15難題」，就是無法把15方塊數(shù)字推盤遊戲中的14和15號方塊對調(diào)，其他方塊依次序排好，解決最終目標就是無法把15個數(shù)字排好。他更提出供了一筆1000美元的解決獎金去獎勵首位解到的人。
據(jù)聞那時候，無法這遊戲風靡一時，解決街上行人都拿著小推盤在解謎。無法其風靡程度應(yīng)該就好像幾年前大家都拿著電話在街上捉精靈一樣。解決無數(shù)的無法挑戰(zhàn)者都嘗試破解難題，但都失敗而回。大家都可以試試破不破解到。
群眾經(jīng)過一段長時間都解不到，開始有人懷疑根本上就不可能把方塊還原成數(shù)字依次排序的模樣。但如何證明呢？這時候數(shù)學(xué)就大派用埸了。
要分析這問題，最傳統(tǒng)最典型的方法是利用抽象代數(shù)（abstract algebra）中置換群（permutation group）的理論去分析轉(zhuǎn)置（transposition）的數(shù)量。方法其實很簡潔很易懂，不過始終需要較多背景知識。為了令廣大讀者都看得懂，史丹福不如在此介紹一個更基礎(chǔ)的，初中學(xué)生都懂的方法去研究這個難題。
設(shè)第一行由左至右4個位置分別是1號至4號，第二行由左至右4個位置分別是5號至8號，如此類推，我們共有16個位置。1至15號的方塊散落在這16個位置中。我們的最終目標是15塊方塊由小至大排好在相對應(yīng)的位置中。
我們移動方塊時會打亂方塊的排列，有些較小的方塊卻「插隊」地進駐了一個比較大的方塊後的位置，我們將分析方塊「插隊」的情況。例如在下圖中：
- 1號方塊插了4塊方塊（2、6、3及13號）的隊；
- 2號方塊佔了最前的位置，沒有插到任何隊；
- 3號方塊插了1塊方塊 （6號）的隊（留意，3號方塊是應(yīng)該在2號後的，所以不算插了2號方塊的隊）；
- 4號方塊插了4塊方塊 (6、13、10及12號）的隊，如此類推。
設(shè)所有方塊插隊數(shù)量的總和為m。我們每次移動方塊時，其實都可以想像成移動空格。如果空格向左或者向右行的話，不影響方塊插隊的數(shù)量，所以m維持不變。
再設(shè)空格所在的行數(shù)為n。如果空格向上一行，n會減1。m又會如何變化呢？
參考上圖，如果A小於B、C、D的話，方格向上令A(yù) 號方塊插了B、C、D號方塊的隊，m會加3。
如果A小於B、C、D中的其中兩個（設(shè)是B與C）的話，空格向上令A(yù)號方塊插了B與C號方塊的隊，但值得留意的是D號方塊原本插了A號方塊隊，現(xiàn)在卻不再插隊了，所以A 號方塊的插隊數(shù)加2，D號方塊的插隊數(shù)減1，總插隊數(shù)m就會加1。
如果A小於B、C、D中的其中一個，空格向上令m減1；如果A大於B、C、D，空格向上令m減3。
大家留意到甚麼？有沒有發(fā)現(xiàn)m的變化永遠是奇數(shù)？另外，空格向上左一行，n會減1，因此m+n的總變化量必為偶數(shù)。大家可以試試想一下空格向下的情況，同樣地每行一步的m+n變化量必為偶數(shù)。
洛伊德提出的「14-15難題」中，m是1（只有14號方塊插了15號隊），n是4（空格位於第4行），m+n是5，是奇數(shù)。我們最終目標是m是0，n是4 ，m+n是4，是偶數(shù)。但無論我們?nèi)绾巫?，m+n的變化都是偶數(shù)，一個奇數(shù)無論加或減多少個偶數(shù)都只會是奇數(shù)，變不出偶數(shù)，所以洛伊德提出的難題不可能破解。
所謂「全心探討數(shù)學(xué)，明道理答案終會找到」，其實只要細心分析，會發(fā)現(xiàn)不少遊戲都有數(shù)學(xué)隱藏在其中，奧妙不已。
本文獲授權(quán)轉(zhuǎn)載，原文見作者網(wǎng)誌。
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責任編輯︰Kayue
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